问题标题:
【已知定义在R上的函数f(x),满足条件:①f(x)+f(-x)=2,②对非零实数x,都有2f(x)+f(1x)=2x+1x+3.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f2(x)−2x(x≥0),直线y=2n−x与函数y=g(x】
问题描述:

已知定义在R上的函数f(x),满足条件:①f(x)+f(-x)=2,②对非零实数x,都有2f(x)+f(1x)=2x+1x+3.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设函数g(x)=

f2(x)−2x (x≥0),直线y=

2 n−x与函数y=g(x)交于An,又Bn为An关于直线y=x的对称点,(其中n∈N*),求|AnBn|;

(3)设an=|AnBn|,Sn为数列{an}的前n项和,求证:当n≥2时,Sn2>2(S22+S33+…+Snn).

潘谦红回答:
  (1)当x≠0时,2f(x)+f(1x)=2x+1x+3
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