问题标题:
【如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥AD,PA⊥AB,AB=AD,AC与BD交于点O.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)直线PD与过直线AC的平面α平行,平面α与棱PB交于点M,指明点M】
问题描述:

如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥AD,PA⊥AB,AB=AD,AC与BD交于点O.

(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBD;

(Ⅱ)直线PD与过直线AC的平面α平行,平面α与棱PB交于点M,指明点M的位置,并证明.

李惠云回答:
  证明(Ⅰ):∵PA⊥AB,PA⊥AD,   ∴PA⊥面ABCD   ∴PA⊥BD   又已知ABCD为平行四边形,且AB=AD,   ∴四边形ABCD为菱形,   ∴BD⊥AC,   ∴BD⊥平面PAC   又BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC;   (Ⅱ)点M是棱PB的中点,   证明:如图,   连接MA,MC,MO,   ∵PD∥平面MAC,平面PDB∩平面MAC=OM,PD⊂平面PDB   ∴PD∥OM   又∵点O为BD的中点,   ∴点M为PB的中点.
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